Ejemplo de aplicación del Teorema de las probabilidades totales y del Teorema de Bayes

Los ejemplares de la  especie bacteriana Escherichia coli pueden mutar y adquirir resistencia a los antibióticos. En un experimento consideramos 3 variedades (serotipos concretos) de E. coli, llamados, para abreviar, V1, V2 y V3, y, consideramos también, la resistencia a 2 antibióticos frecuentemente utilizados: A y B.

En presencia de un cierto compuesto mutagénico estas 3 variedades de E. coli tienen probabilidades diferentes a la hora de adquirir resistencia respecte a A y a B. A continuación se indica la probabilidad de que un individuo presente alguna de las diferentes combinaciones de resistencia en función de si pertenece a una u otra variedad de E.coli:

Si es V1:

p(“no resiste ni A ni B”)=0.94, p(“resiste sólo a A”)=0.02, p(“resiste a A y a B”)=0.01.

Si es V2:

p(“no resiste ni A ni B”)=0.97, p(“resiste sólo a A”)=0.02, p(“resiste a A y a B”)=0

Si es V3:

p(“no resiste ni A ni B”)=0.91, p(“resiste sólo a  A”)=0.05, p(“resiste a A y a B”)=0.03.

Se prepara una solución con el compuesto mutagénico y una mezcla de individuos no resistentes de los que un 40% de bacterias son V1, un 30% son V2 i un 30% son V3. Asumiendo que ha transcurrido el tiempo necesario para que aparezcan mutaciones y que la aparición de resistencias se ha producido de acuerdo a las probabilidades descritas anteriormente, calcular:

1.¿Cuál es la probabilidad de que una bacteria cualquiera de la solución no presente resistencia a ninguno de los dos antibióticos?

2. Si una bacteria presenta resistencia sólo al antibiótico A, ¿cuál es la probabilidad de que sea de la variedad 3?

SOLUCIÓN:

1. Es importante siempre en este tipo de problemas dibujarlo. Veamos en primer lugar las probabilidades de resistencias distintas en cada variedad de E. coli:

IMG_5238

Y ahora veamos cómo se dibujaría lo preguntado en la primera pregunta:

IMG_5239

La aplicación del Teorema de las probabilidades totales es clara en este caso, tenemos la información adecuada para ello. Tenemos una partición y un conjunto solapado con todos los elementos de la partición, tenemos también las probabilidades de cada elemento de la partición y las probabilidades condicionadas correspondientes. El conjunto solapado con la partición es, en este caso, el formado por los ejemplares que no han generado resistencia a ninguno de los dos antibióticos, que es el conjunto complementario al formado por la unión de A y B, como se expresa en el gráfico. Los cálculos necesarios, pues, para responder a la primera pregunta son:

IMG_5240

2. Para resolver este segundo apartado el dibujo que hay que hacer es otro, es el siguiente:

IMG_5241

Ahora el conjunto que está inmerso en la partición es el conjunto A-B, que representa lo que hay en A que no comparte con B; o sea, los ejemplares que presentan resistencia únicamente al antibiótico A, como nos plantea el problema. Lo he dibujado pequeño porque las probabilidades son pequeñas.

Ahora debemos aplicar el Teorema de Bayes, porque sabemos que se ha producido el suceso A-B y queremos calcular la probabilidad de que se trate de la variedad V3. Los cálculos son los siguientes:

IMG_5242

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s