Estructuras definidas en conjuntos

Un conjunto cualquiera, en matemáticas, sin más, es simplemente una colección de elementos, una reunión desconectada de entidades, un listado de entidades. Si ese conjunto es, por ejemplo, el de los números enteros, si no especificamos nada más es una mera colección de números, como hemos visto en el HERBARIO de conjuntos.

En matemáticas a esos conjuntos se les suele ver desde una estructura definida en ellos. Una estructura en un conjunto es como una forma de mirada al interior de ese conjunto. Una forma de darle un orden. Una forma de verlo en una estructura. Es, por lo tanto, una forma de organizar el contenido de un conjunto. Es muy importante, para entender las matemáticas, tener muy claro este concepto complejo: el concepto de estructura definida en un conjunto.

En un mismo conjunto se pueden definir muchos tipos de estructuras. Por eso, dependiendo de qué estructura hayamos definido en un conjunto, en un momento determinado, ese conjunto se presentará como una realidad muy diferente.

En un conjunto se pueden definir muchos tipos de estructuras diferentes: operaciones, topologías, conjuntos de subconjuntos de ese conjunto, medidas, probabilidades, distancias, normas, etc. Ya lo iremos viendo. Según la estructura que definamos en un conjunto lo estaremos visualizando desde un determinado punto de vista. Y, por lo tanto, dependiendo de cuál sea esta estructura, la mirada a ese conjunto será ciertamente muy distinta, una  mirada que nos facilitará propiedades muy diferentes de ese conjunto.

En matemáticas un determinado conjunto A puede ir acompañado de símbolos como los siguientes:

 

Cada uno de ellos apunta a una estructura, a una mirada distinta a ese mismo conjunto A. Aparecen operaciones (+, •). A veces una operación, a veces dos operaciones. Aparecen topologías (T), clases de subconjuntos (a), medidas (μ), probabilidades (P), distancias (d), normas (⎢•⎢).

Un mismo conjunto visto desde una estructura u otra cambia completamente la mirada que hagamos a él. Mirémoslo desde la siguiente metáfora: Supongamos un grupo de 20 personas. Si lo miráramos desde la noción pura de conjunto simplemente especificaríamos el listado de nombres de esas 20 personas. Sin más. Pero esas 20 personas pueden ponerse a hablar de política y, por lo tanto, en aquel momento empiezan a crearse una serie de asociaciones entre esas personas: afinidades, distancias pequeñas entre ellos, distancias grandes entre ellos, etc. Si hablan de fútbol, las asociaciones, los subgrupos, las distancias que se establecen entre ellos son muy posiblemente completamente otras. Si se ponen a hablar de música, las posiciones relativas de esos 20 componentes del grupo pueden cambiar, y mucho, de nuevo. Pues diríamos que cada uno de estos ámbitos: la política, el fútbol, la música, etc., genera una mirada diferente a ese grupo de personas, genera una estructura diferente, una organización interna diferente dentro del grupo. Eso es lo que hace una operación, una topología, una distancia, una norma, una medida, una probabilidad, etc., en un conjunto: generar una mirada diferente a una misma realidad, generar una estructura interna distinta de sus elementos, los posiciona, relativamente, a unos respecto de otros, de forma muy diferente.

Esto es, sin ninguna duda, fundamental para entender las peculiaridades del complejo lenguaje de las matemáticas: saber qué conjunto tenemos entre manos y desde qué estructura lo estamos analizando. Ya iremos desarrollando esta noción poco a poco, pero es muy importante tener estas ideas expuestas aquí siempre presentes al hacer matemáticas. Es trascendental.

Además, una cosa muy importante: en función de esas estructuras definidas en los conjuntos se generan diferentes ramas de las matemáticas. Por ejemplo, el Álgebra es el estudio de los conjuntos vistos siempre estructurados según operaciones definidas en ellos. El Análisis funcional es el estudio de conjuntos de funciones a los que se ha definido una distancia o una norma. La teoría de la medida es el estudio de conjuntos a los que se ha definido, en primer lugar, una estructuración en base a agrupaciones de subconjuntos de esos conjuntos (a las que llamamos anillos de conjuntos) y en una medida definida en cada uno de esos subconjuntos. La teoría de la probabilidad es, igualmente, una estructuración en base a agrupaciones de subconjuntos de esos conjuntos (a los que llamamos álgebras de conjuntos (a)) y a una probabilidad definida en cada uno de esos subconjuntos.

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