HERBARIO de conjuntos

Son muchos los conjuntos que se estudian en matemáticas. Veamos algunos ejemplos. Ejemplos que irán saliendo en otros herbarios donde esos conjuntos sean vistos desde la definición de una estructura determinada en ellos y por lo tanto se vean más posibles organizaciones internas que puedan verse en su interior. Sin más, tal como los vemos aquí, los conjuntos son una mera reunión de entidades, sin una disposición interna.

Por lo tanto, en este primer HERBARIO los conjuntos son vistos así: como colecciones de entidades, de objetos matemáticos, pero sin delimitar ni estudiar paisajes interiores que hay en esos conjuntos.

Conjuntos usuales en matemáticas son, en primer lugar, los conjuntos de números:

 

Cada conjunto de números nos aporta elementos para hablar de cosas diferentes de la realidad: Los naturales nos permiten contar entidades, los enteros nos permiten hablar en abstracto (mediante la introducción de los números negativos) de elementos que debemos, elementos que faltan, etc. Los racionales nos permiten hablar de facciones. De partes de una unidad: 1/2, 3/5, etc. Los reales nos permiten medir cualquier distancia: por ejemplo, la longitud de un círculo de radio 1. Los complejos especialmente nos permiten resolver ecuaciones que sin ellos serían irresolubles. Y esto nos lleva a una cuestión matemática interesante: Cada conjunto de números viene a aportar elementos para resolver diferentes tipos de ecuaciones. Es una forma de abordar estos distintos tipos de números. Veamos las siguientes cinco ecuaciones y su representación, en ejes de coordenadas, de las funciones que hay detrás de cada una de esas ecuaciones:

Como puede verse cada una de esas cinco ecuaciones tiene solución en un determinado conjunto de números. Cada nueva ecuación precisa de un conjunto de números más amplio para encontrar una solución. Observemos que para resolver la primera nos bastan los naturales, pero para la segunda los naturales no nos bastan: necesitamos más números. Y así sucesivamente.

Veamos un mapa que posiciona estos cinco conjuntos de números:

Otros conjuntos muy importantes, en matemáticas, son los conjuntos formados por el producto cartesiano de otros conjuntos:

 

 

Veamos cómo pueden visualizarse estos conjuntos:

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Entre los elementos de los productos cartesianos se pueden establecer operaciones, como en los conjuntos de números:

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El conjunto de los números complejos C, en realidad se puede visualizar como un producto cartesiano de una parte real y de una parte imaginaria. El paralelismo entre C y RxR es evidente y muy interesante:

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Otros conjuntos muy importantes en matemáticas son los conjuntos formados por funciones. Conjuntos cuyos elementos son funciones. Suelen llamarse Conjunto de Funciones (Nombre del Condominio) de variable (Nombre del Dominio). Por ejemplo, si el Dominio es un conjunto llamado A y el Codominio un conjunto llamado B se denominaría el Conjunto de las Funciones B de variable A. Abreviadamente: FBVA.

Veamos un ejemplo en miniatura:

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En este ejemplo, el conjunto de todas las funciones con Dominio A y Codominio B está formado por las cuatro funciones explicitadas en este gráfico de dos formas distintas.

Si el Dominio y el Codominio son los cinco conjuntos de números vistos anteriormente tendremos los siguientes 25 conjuntos de funciones distintos posibles:

 

Evidentemente, estos conjuntos de funciones pueden tener como dominio y como codominio cualquier conjunto: un producto cartesiano de conjuntos, un mismo conjunto de funciones, etc. La de mundos que puede idear y manejar la matemática.

Por ejemplo, los tres siguientes conjuntos de funciones son muy importantes y muy usados en matemáticas:

 

De hecho, el primero es el importante conjunto de todas las funciones con dominio el plano y codominio los reales. Las llamadas funciones de variable vectorial más básicas. El segundo tiene que ver con la integrales definidas y el tercer conjunto de funciones tiene que ver con las derivadas. Pero ya lo veremos en su momento. Ahora basta con ver qué tipos de conjuntos se estudian en matemáticas. Esta es la naturaleza matemática. Poe ella pasearemos con mirada naturalista.

Un conjunto muy utilizado en matemáticas es el conjunto de polinomios. Escrito de la siguiente forma:

 

La primera presentación es la más habital. A los distintos valores de “a” con diferentes subíndices se les denomina coeficientes y son valores tomados de un conjunto determinado, normalmente del conjunto de los números reales.  La n es el grado del polinomio: el valor del subíndice más grande con el valor del coeficiente distinto de cero. La segunda presentación, que veremos a veces también, es una notación más general: representa que los coeficientes del polinomio son valores tomados de un conjunto K. Pero ambas apuntan al conjunto de todos los polinomios. Los polinomios, también lo veremos, son funciones muy importantes en matemáticas. Por eso se estudian mucho. También veremos el porqué.

Otros conjuntos muy usuales en matemáticas son los conjuntos de matrices. Veamos primero una definición general de conjunto de matrices y, luego, una definición más concreta de un conjunto de matrices claramente delimitado:

 

El conjunto que se sitúa entre paréntesis representa el conjunto del que se toman elementos para ir llenando las distintas posiciones de la matriz. El primer conjunto de matrices que aparece en la anterior imagen es una expresión completamente general: m filas y n columnas y el conjunto A, entre paréntesis, es una expresión general de cualquier conjunto. El segundo conjunto de matrices ya es un caso concreto: El conjunto de matrices con 3 filas y dos columnas de formadas por números naturales.

Otros conjuntos muy utilizados en matemáticas son los Enteros módulo un natural mayor que uno. Por ejemplo, los Enteros módulo 2, los Enteros módulo 3, lo Enteros módulo 4, etc:

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Son clases de números enteros según el resto, o residuo, que tengan al dividir un entero no  negativo cualquiera por el número del módulo. Por ejemplo, los Enteros módulo 2: Al dividir cualquier entero por 2 el resto, o residuo, puede ser ó 0 ó 1. Todos los enteros no negativos que tengan el mismo resto, o residuo, formarán parte de la misma clase y, por lo tanto, en realidad son el mismo número vistos desde ese conjunto nuevo que denominamos “Enteros módulo 2”.

Veamos con detalle el conjunto de los Enteros módulo 6:

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En este conjunto, por ejemplo, podemos definir la suma y el producto. Veamos, primero, la tabla de la suma:

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Al evaluar una operación como la suma en un conjunto como éste debemos pensar que estamos sumando clases, por lo tanto debemos pensar qué ocurre cuando sumamos cualquier número entero de una clase con cualquier número entero de la otra clase. Por ejemplo, siempre que sumemos un número de la clase [2] con uno de la clase [5] obtendremos uno de la clase [1]. Se puede comprobar perfectamente: 2+5=7, que es de la clase [1]. 8+11=19, que es, también de la clase [1].

Lo mismo sucede con el producto. Veamos cuál es la tabla del producto:

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Por ejemplo, un miembro cualquiera de la clase [2] multiplicado por uno de la clase [3] nos dará un número miembro de la clase [0]. Podéis comprobarlo. Obtendremos siempre un múltiplo de 6, lo que nos lleva a un número de la clase [0], en este conjunto.

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